1基本概念和符号

线性代数可以对一组线性方程进行简洁地表示和运算。例如，对于这个方程组:

$4x_1 - 5x_2= -13$

$-2x_1 + 3x_2 = 9$

这里有两个方程和两个变量，如果你学过高中代数的话，你肯定知道，可以为x1 和x2找到一组唯一的解 (除非方程可以进一步简化，例如，如果第二个方程只是第一个方程的倍数形式。但是显然上面的例子不可简化，是有唯一解的)。在矩阵表达中，我们可以简洁的写作:

$Ax = b$

其中：

$A=\begin{bmatrix} 4 & -5 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ $b=\begin{bmatrix} -13 \\ 9 \end{bmatrix}$

很快我们将会看到，咱们把方程表示成这种形式，在分析线性方程方面有很多优势(包括明显地节省空间)。

1.1基本符号

以下是我们要使用符号:

• 符号 A∈ R m×n 表示一个m行n列的矩阵，并且矩阵A中的所有元素都是实数。
• 符号 x ∈ Rn表示一个含有n个元素的向量。通常，我们把n维向量看成是一个n行1列矩阵，即列向量。如果我们想表示一个行向量（ 1行n列矩阵），我们通常写作xT (xT表示x的转置，后面会解释它的定义)。
• 一个向量x的第i个元素表示为xi：

$b=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ x_n \end{bmatrix}$

• 我们用$a_{ij}$ (或$A_{ij}$等) 表示第i行第j列的元素：

$A = \begin{bmatrix} a_{11} a_{12} ... a_{1n} \\ a_{21} a_{22} ... a_{2n} \\ . \\ . \\ a_{m1} a_{n2} ... a_{mn} \end{bmatrix}$

• 我们用$a_j$ 表示A矩阵的第j列元素：

$A = \begin{bmatrix} | | | \\ a_1 a_2 a_3 \\ | | | \end{bmatrix}$

• 我们用aTi或Ai，:表示矩阵的第i行元素
  :

$A = \begin{bmatrix} -- a_1^T -- \\ -- a_2^T -- \\ . \\ . \\ -- a_m^T -- \end{bmatrix}$

• 请注意，这些定义都是不严格的（例如，a1和a1T在前面的定义中是两个不同向量）。通常使用中，符号的含义应该是可以明显看出来的。