SMO算法原理

1. 回顾SVM优化目标函数

我们首先回顾下我们的优化目标函数：

$min(\alpha)\;\; \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1,j=1}^{m}\alpha_i\alpha_jy_iy_jK(x_i,x_j) - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_i$

$s.t. \; \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i = 0$

$0 \leq \alpha_i \leq C$

我们的解要满足的KKT条件的对偶互补条件为：$\alpha_{i}^{*}(y_i(w^{*} \bullet \phi(x_i) + b^{*}) - 1) = 0$

根据这个KKT条件的对偶互补条件，我们有： $\alpha_{i}^{*} = 0 \Rightarrow y_i(w^{*} \bullet \phi(x_i) + b) \geq 1$ $0 \leq \alpha_{i}^{*} \leq C \Rightarrow y_i(w^{*} \bullet \phi(x_i) + b) = 1$

$\alpha_{i}^{*}= C \Rightarrow y_i(w^{*} \bullet \phi(x_i) + b) \leq 1$ 由于$w^{*} = \sum\limits_{j=1}^{m}\alpha_j^{*}y_j\phi(x_j)$,我们令$g(x) = w^{*} \bullet \phi(x) + b =\sum\limits_{j=1}^{m}\alpha_j^{*}y_jK(x, x_j)+ b^{*}$，则有： $\alpha_{i}^{*} = 0 \Rightarrow y_ig(x_i) \geq 1$ $0 \leq \alpha_{i}^{*} \leq C \Rightarrow y_ig(x_i) = 1$ $\alpha_{i}^{*}= C \Rightarrow y_ig(x_i) \leq 1$

2. SMO算法的基本思想

上面这个优化式子比较复杂，里面有m个变量组成的向量$\alpha$需要在目标函数极小化的时候求出。直接优化时很难的。SMO算法则采用了一种启发式的方法。它每次只优化两个变量，将其他的变量都视为常数。由于$\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i = 0$.假如将$\alpha_3, \alpha_4, ..., \alpha_m$　固定，那么$\alpha_1, \alpha_2$之间的关系也确定了。这样SMO算法将一个复杂的优化算法转化为一个比较简单的两变量优化问题。

为了后面表示方便，我们定义$K_{ij} = \phi(x_i) \bullet \phi(x_j)$

由于$\alpha_3, \alpha_4, ..., \alpha_m$都成了常量，所有的常量我们都从目标函数去除，这样我们上一节的目标优化函数变成下式： $min(\alpha_1, \alpha_1)\;\; \frac{1}{2}K_{11}\alpha_1^2 + \frac{1}{2}K_{22}\alpha_2^2 +y_1y_2K_{12}\alpha_1 \alpha_2 -(\alpha_1 + \alpha_2) +y_1\alpha_1\sum\limits_{i=3}^{m}y_i\alpha_iK_{i1} + y_2\alpha_2\sum\limits_{i=3}^{m}y_i\alpha_iK_{i2}$ $s.t. \;\;\alpha_1y_1 + \alpha_2y_2 = -\sum\limits_{i=3}^{m}y_i\alpha_i = \varsigma$ $0 \leq \alpha_i \leq C \;\; i =1,2$

3. SMO算法目标函数的优化

为了求解上面含有这两个变量的目标优化问题，我们首先分析约束条件，所有的$\alpha_1, \alpha_2$都要满足约束条件，然后在约束条件下求最小。

根据上面的约束条件$\alpha_1y_1 + \alpha_2y_2 = \varsigma\;\;0 \leq \alpha_i \leq C \;\; i =1,2$，又由于$y_1,y_2$均只能取值1或者-1, 这样$\alpha_1, \alpha_2$在[0,C]和[0,C]形成的盒子里面，并且两者的关系直线的斜率只能为1或者-1，也就是说$\alpha_1, \alpha_2$的关系直线平行于[0,C]和[0,C]形成的盒子的对角线，如下图所示：

由于$\alpha_1, \alpha_2$的关系被限制在盒子里的一条线段上，所以两变量的优化问题实际上仅仅是一个变量的优化问题。不妨我们假设最终是$\alpha_2$的优化问题。由于我们采用的是启发式的迭代法，假设我们上一轮迭代得到的解是$\alpha_1^{old}, \alpha_2^{old}$，假设沿着约束方向$\alpha_2$未经剪辑的解是$\alpha_2^{new,unc}$.本轮迭代完成后的解为$\alpha_1^{new}, \alpha_2^{new}$

由于$\alpha_2^{new}$必须满足上图中的线段约束。假设L和H分别是上图中$\alpha_2^{new}$所在的线段的边界。那么很显然我们有：$L \leq \alpha_2^{new} \leq H$

而对于L和H，我们也有限制条件如果是上面左图中的情况，则 $L = max(0, \alpha_2^{old}-\alpha_1^{old}) \;\;\;H = min(C, C+\alpha_2^{old}-\alpha_1^{old})$ 如果是上面右图中的情况，我们有： $L = max(0, \alpha_2^{old}+\alpha_1^{old}-C) \;\;\; H = min(C, \alpha_2^{old}+\alpha_1^{old})$ 也就是说，假如我们通过求导得到的$\alpha_2^{new,unc}$，则最终的$\alpha_2^{new}$应该为：

$\alpha_2^{new}= \begin{cases} H& {L \leq \alpha_2^{new,unc} > H}\\ \alpha_2^{new,unc}& {L \leq \alpha_2^{new,unc} \leq H}\\ L& {\alpha_2^{new,unc} < L} \end{cases}$

那么如何求出$\alpha_2^{new,unc}$呢？很简单，我们只需要将目标函数对$\alpha_2$求偏导数即可。

首先我们整理下我们的目标函数。

为了简化叙述，我们令$E_i = g(x_i)-y_i = \sum\limits_{j=1}^{m}\alpha_j^{*}y_jK(x_i, x_j)+ b - y_i$，

其中g(x)就是我们在第一节里面的提到的$g(x) = w^{*} \bullet \phi(x) + b =\sum\limits_{j=1}^{m}\alpha_j^{*}y_jK(x, x_j)+ b^{*}$

我们令$v_i = \sum\limits_{i=3}^{m}y_j\alpha_jK(x_i,x_j) = g(x_i) - \sum\limits_{i=1}^{2}y_j\alpha_jK(x_i,x_j) -b$

这样我们的优化目标函数进一步简化为：$W(\alpha_1,\alpha_2) = \frac{1}{2}K_{11}\alpha_1^2 + \frac{1}{2}K_{22}\alpha_2^2 +y_1y_2K_{12}\alpha_1 \alpha_2 -(\alpha_1 + \alpha_2) +y_1\alpha_1v_1 + y_2\alpha_2v_2$

由于$\alpha_1y_1 + \alpha_2y_2 = \varsigma$，并且$y_i^2 = 1$，可以得到$\alpha_1$用$\alpha_2$表达的式子为：$\alpha_1 = y_1(\varsigma - \alpha_2y_2)$

将上式带入我们的目标优化函数，就可以消除$\alpha_1$,得到仅仅包含$\alpha_2$的式子。$W(\alpha_2) = \frac{1}{2}K_{11}(\varsigma - \alpha_2y_2)^2 + \frac{1}{2}K_{22}\alpha_2^2 +y_2K_{12}(\varsigma - \alpha_2y_2) \alpha_2 -(\alpha_1 + \alpha_2) +(\varsigma - \alpha_2y_2)v_1 + y_2\alpha_2v_2$

忙了半天，我们终于可以开始求$\alpha_2^{new,unc}$了，现在我们开始通过求偏导数来得到$\alpha_2^{new,unc}$。

$\frac{\partial W}{\partial \alpha2} = K{11}\alpha2 + K{22}\alpha2 -2K{12}\alpha2 - K{11}\varsigma y2 + K{12}\varsigma y_2 +y_1y_2 -1 -v_1y_2 +y_2v_2 = 0$

整理上式有：$( K{11} +K{22}-2K{12})\alpha_2 = y_2(y_2-y_1 + \varsigma K{11} - \varsigma K_{12} + v_1 - v_2)$

$= y_2(y_2-y_1 + \varsigma K_{11} - \varsigma K_{12} + (g(x_1) - \sum\limits_{j=1}^{2}y_j\alpha_jK_{1j} -b ) -(g(x_2) - \sum\limits_{j=1}^{2}y_j\alpha_jK_{2j} -b))$

将$\varsigma = \alpha_1y_1 + \alpha_2y_2$带入上式，我们有：

$(K_{11} +K_{22}-2K_{12})\alpha_2^{new,unc} = y_2((K_{11} +K_{22}-2K_{12})\alpha_2^{old}y_2 +y_2-y_1 +g(x_1) - g(x_2))$

$\;\;\;\; = (K_{11} +K_{22}-2K_{12}) \alpha_2^{old} + y2(E_1-E_2)$

我们终于得到了$\alpha_2^{new,unc}$的表达式：$\alpha_2^{new,unc} = \alpha_2^{old} + \frac{y2(E_1-E_2)}{K_{11} +K_{22}-2K_{12})}$

利用上面讲到的$\alpha_2^{new,unc}$和$\alpha_2^{new}$的关系式，我们就可以得到我们新的$\alpha_2^{new}$了。利用$\alpha_2^{new}$和$\alpha_1^{new}$的线性关系，我们也可以得到新的$\alpha_1^{new}$。

4. SMO算法两个变量的选择

SMO算法需要选择合适的两个变量做迭代，其余的变量做常量来进行优化，那么怎么选择这两个变量呢？

4.1 第一个变量的选择

SMO算法称选择第一个变量为外层循环，这个变量需要选择在训练集中违反KKT条件最严重的样本点。对于每个样本点，要满足的KKT条件我们在第一节已经讲到了： $\alpha_{i}^{*} = 0 \Rightarrow y_ig(x_i) \geq 1$ $0 \leq \alpha_{i}^{*} \leq C \Rightarrow y_ig(x_i) =1$ $\alpha_{i}^{*}= C \Rightarrow y_ig(x_i) \leq 1$ 一般来说，我们首先选择违反$0 \leq \alpha_{i}^{*} \leq C \Rightarrow y_ig(x_i) =1$这个条件的点。如果这些支持向量都满足KKT条件，再选择违反$\alpha_{i}^{*} = 0 \Rightarrow y_ig(x_i) \geq 1$和$\alpha_{i}^{*}= C \Rightarrow y_ig(x_i) \leq 1$的点。

4.2 第二个变量的选择

SMO算法称选择第二个变量为内层循环，假设我们在外层循环已经找到了$\alpha_1$, 第二个变量$\alpha_2$的选择标准是让|E1-E2|有足够大的变化。由于$\alpha_1$定了的时候,$E_1$也确定了，所以要想|E1-E2|最大，只需要在$E_1$为正时，选择最小的$E_i$作为$E_2$， 在$E_1$为负时，选择最大的$E_i$作为$E_2$，可以将所有的$E_i$保存下来加快迭代。

如果内存循环找到的点不能让目标函数有足够的下降， 可以采用遍历支持向量点来做$\alpha_2$,直到目标函数有足够的下降， 如果所有的支持向量做$\alpha_2$都不能让目标函数有足够的下降，可以跳出循环，重新选择$\alpha_1$

4.3 计算阈值b和差值E_i

在每次完成两个变量的优化之后，需要重新计算阈值b。当$0 \leq \alpha_{1}^{new} \leq C$时，我们有$y_1 - \sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_iK_{i1} -b_1 = 0$

于是新的$b_1^{new}$为：$b_1^{new} = y_1 - \sum\limits_{i=3}^{m}\alpha_iy_iK_{i1} - \alpha_{1}^{new}y_1K_{11} - \alpha_{2}^{new}y_2K_{21}$

计算出$E_1$为：$E_1 = g(x_1) - y_1 = \sum\limits_{i=3}^{m}\alpha_iy_iK_{i1} + \alpha_{1}^{old}y_1K_{11} + \alpha_{2}^{old}y_2K_{21} + b^{old} -y_1$

可以看到上两式都有$y_1 - \sum\limits_{i=3}^{m}\alpha_iy_iK_{i1}$，因此可以将$b_1^{new}$用$E_1$表示为：$b_1^{new} = -E_1 -y_1K_{11}(\alpha_{1}^{new} - \alpha_{1}^{old}) -y_2K_{21}(\alpha_{2}^{new} - \alpha_{2}^{old}) + b^{old}$

同样的，如果$0 \leq \alpha_{2}^{new} \leq C$, 那么有：$b_2^{new} = -E_2 -y_1K_{12}(\alpha_{1}^{new} - \alpha_{1}^{old}) -y_2K_{22}(\alpha_{2}^{new} - \alpha_{2}^{old}) + b^{old}$

最终的$b^{new}$为：$b^{new} = \frac{b_1^{new} + b_2^{new}}{2}$

得到了$b^{new}$我们需要更新$E_i:E_i = \sum\limits_{S}y_j\alpha_jK(x_i,x_j) + b^{new} -y_i$

其中，S是所有支持向量$x_j$的集合。

好了，SMO算法基本讲完了，我们来归纳下SMO算法。

5. SMO算法总结

输入是m个样本${(x_1,y_1), (x_2,y_2), ..., (x_m,y_m),}$,其中x为n维特征向量。y为二元输出，值为1，或者-1.精度e。

输出是近似解\alpha

1)取初值$\alpha^{0} = 0, k =0$

2)按照4.1节的方法选择$\alpha_1^k$,接着按照4.2节的方法选择$\alpha_2^k$，求出新的$\alpha_2^{new,unc}$。$\alpha_2^{new,unc} = \alpha_2^{k} + \frac{y_2(E_1-E_2)}{K_{11} +K_{22}-2K_{12})}$

3)按照下式求出$\alpha_2^{k+1}$

$\alpha_2^{k+1}= \begin{cases} H& {L \leq \alpha_2^{new,unc} > H}\ \alpha_2^{new,unc}& {L \leq \alpha_2^{new,unc} \leq H}\ L& {\alpha_2^{new,unc} < L} \end{cases}$

4)利用$\alpha_2^{k+1}$和$\alpha_1^{k+1}$的关系求出$\alpha_1^{k+1}$

5)按照4.3节的方法计算$b^{k+1}$和$E_i$

6）在精度e范围内检查是否满足如下的终止条件： $\sum\limits_{i=1}^{m}\alpha_iy_i = 0$ $0 \leq \alpha_i \leq C, i =1,2...m$ $\alpha_{i}^{k+1} = 0 \Rightarrow y_ig(x_i) \geq 1$ $0 \leq \alpha_{i}^{k+1} \leq C \Rightarrow y_ig(x_i) = 1$ $\alpha_{i}^{k+1}= C \Rightarrow y_ig(x_i) \leq 1$ 7)如果满足则结束，返回$\alpha^{k+1}$,否则转到步骤2）。