在高维数据处理中，为了简化计算量以及储存空间，需要对这些高维数据进行一定程度上的降维，并尽量保证数据的不失真。PCA和ICA是两种常用的降维方法。

PCA：principal component analysis ，主成分分析

ICA ：Independent component analysis，独立成分分析

PCA,ICA都是统计理论当中的概念，在机器学习当中应用很广，比如图像，语音，通信的分析处理。

从线性代数的角度去理解，PCA和ICA都是要找到一组基，这组基张成一个特征空间，数据的处理就都需要映射到新空间中去。

两者常用于机器学习中提取特征后的降维操作

ICA是找出构成信号的相互独立部分(不需要正交)，对应高阶统计量分析。ICA理论认为用来观测的混合数据阵X是由独立元S经过A线性加权获得。ICA理论的目标就是通过X求得一个分离矩阵W，使得W作用在X上所获得的信号Y是独立源S的最优逼近，该关系可以通过下式表示：

Y = WX = WAS ， A = inv(W)

ICA相比与PCA更能刻画变量的随机统计特性，且能抑制高斯噪声。

1. 问题：

1、PCA是一种数据降维的方法，但是只对符合高斯分布的样本点比较有效，那么对于其他分布的样本，有没有主元分解的方法呢？

2、经典的鸡尾酒宴会问题（cocktail party problem）。假设在party中有n个人，他们可以同时说话，我们也在房间中一些角落里共放置了n个声音接收器（Microphone）用来记录声音。宴会过后，我们从n个麦克风中得到了一组数据$x^{(i)}(x_1^{(i)},x_2^{(i)},....x_n^{(i)});i=1,...,m$，i表示采样的时间顺序，也就是说共得到了m组采样，每一组采样都是n维的。我们的目标是单单从这m组采样数据中分辨出每个人说话的信号。

将第二个问题细化一下，有n个信号源$s(s_1,s_2,....,s_n)^T,\;s \in R^n$，每一维都是一个人的声音信号，每个人发出的声音信号独立。A是一个未知的混合矩阵（mixing matrix），用来组合叠加信号s，那么

$x = As$

x的意义在上文解释过，这里的x不是一个向量，是一个矩阵。其中每个列向量是$x^{(i)}$，$x^{(i)}=As^{(i)}$

表示成图就是

这张图来自

http://amouraux.webnode.com/research-interests/research-interests-erp-analysis/blind-source-separation-bss-of-erps-using-independent-component-analysis-ica/

$x^{(i)}$的每个分量都由$s^{(i)}$的分量线性表示。A和s都是未知的，x是已知的，我们要想办法根据x来推出s。这个过程也称作为盲信号分离。

令$W=A^{-1}$，那么$s^{(i)}=A^{-1}x^{(i)}=Wx^{(i)}$

将W表示成

$W=\begin{bmatrix} ...w_1^T...\\ .......\\ ...w_n^T...\end{bmatrix}$

其中$w_i \in R^n$，其实就是将$w_i$写成行向量形式。那么得到：

$s_j^{(i)}=w_j^Tx^{(i)}$

2. ICA的不确定性（ICA ambiguities）

由于w和s都不确定，那么在没有先验知识的情况下，无法同时确定这两个相关参数。比如上面的公式s=wx。当w扩大两倍时，s只需要同时扩大两倍即可，等式仍然满足，因此无法得到唯一的s。同时如果将人的编号打乱，变成另外一个顺序，如上图的蓝色节点的编号变为3,2,1，那么只需要调换A的列向量顺序即可，因此也无法单独确定s。这两种情况称为原信号不确定。

令R是正交阵$RR^T=R^TR=I$, $A^{'}=AR$。如果将A替换成A’。那么$x^{'}=A^{'}s$。s分布没变，因此x’仍然是均值为0，协方差$E[x^{'}(x^{'})^T]=E[A^{'}ss^T(A^{'})^T]=E[ARss^T(AR)^T]=ARR^TA^T=AA^T$。

因此，不管混合矩阵是A还是A’，x的分布情况是一样的，那么就无法确定混合矩阵，也就无法确定原信号。

3. 密度函数和线性变换

在讨论ICA具体算法之前，我们先来回顾一下概率和线性代数里的知识。

假设我们的随机变量s有概率密度函数$P_s(s)$（连续值是概率密度函数，离散值是概率）。为了简单，我们再假设s是实数，还有一个随机变量x=As，A和x都是实数。令$P_x$是x的概率密度，那么怎么求$P_x$？

令$W=A^{-1}$，首先将式子变换成$s=Wx$，然后得到$p_x(x)=p_s(Ws)$，求解完毕。可惜这种方法是错误的。比如s符合均匀分布的话（$s \sim Uniform[0,1]$），那么s的概率密度是$p_s(s)=1 \{0<=s<=1\}$，现在令A=2，即x=2s，也就是说x在[0,2]上均匀分布，可知$p_x(x)=0.5$。然而，前面的推导会得到$p_x(x)=p_s(0.5s)=1$。正确的公式应该是

$p_x(x)=p_s(Ws)|W|$

推导方法f

$F_x(x)=P(X<=x)=P(AS<=x)=P(S<=Wx)=F_s(Wx)$

$p_x(x)=F_x^{'}(x)=F_s^{,}(Wx)=p_s(Wx)|W|$

更一般地，如果s是向量，A可逆的方阵，那么上式子仍然成立。

4. ICA算法

ICA算法归功于Bell和Sejnowski，这里使用最大似然估计来解释算法，原始的论文中使用的是一个复杂的方法Infomax principal。

$p(s)=\prod_{i=1}^{n}p_s(s_i)$

这个公式代表一个假设前提：每个人发出的声音信号各自独立。有了p(s)，我们可以求得p(x)

$p(x)=p_s(Wx)|W|=|W|\prod_{i=1}^{n}p_s(w_i^Tx)$

左边是每个采样信号x（n维向量）的概率，右边是每个原信号概率的乘积的|W|倍。

前面提到过，如果没有先验知识，我们无法求得W和s。因此我们需要知道$p_s(s_i)$，我们打算选取一个概率密度函数赋给s，但是我们不能选取高斯分布的密度函数。在概率论里我们知道密度函数p(x)由累计分布函数（cdf）F(x)求导得到。F(x)要满足两个性质是：单调递增和在[0,1]。我们发现sigmoid函数很适合，定义域负无穷到正无穷，值域0到1，缓慢递增。我们假定s的累积分布函数符合sigmoid函数

$g(s)= \frac {1} {1+e^{-s}}$

求导后

$p_s(s)=g^{'}(s)=\frac {e^s} {(1+e^s)^2}$

这就是s的密度函数。这里s是实数。

如果我们预先知道s的分布函数，那就不用假设了，但是在缺失的情况下，sigmoid函数能够在大多数问题上取得不错的效果。由于上式中$p_s(s)$是个对称函数，因此E[s]=0（s的均值为0），那么E[x]=E[As]=0，x的均值也是0。

知道了$p_s(s)$，就剩下W了。给定采样后的训练样本$x^{(i)}(x_1^{(i)},x_2^{(i)},....x_n^{(i)});i=1,...,m$，样本对数似然估计如下：

使用前面得到的x的概率密度函数，得

$l(W)=\sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{n}log \;g^{'}(w_j^Tx^{(i)})+log|W|)$

大括号里面是$p(x^{(i)})$。

接下来就是对W求导了，这里牵涉一个问题是对行列式|W|进行求导的方法，属于矩阵微积分。这里先给出结果，在文章最后再给出推导公式。

$\bigtriangledown _w|W|=|W|(W^{-1})^T$

最终得到的求导后公式如下，$logg^{'}(s)$的导数为$1-2g(s)$（可以自己验证）：

当迭代求出W后，便可得到$s^{(i)}=Wx^{(i)}$来还原出原始信号。

注意：我们计算最大似然估计时，假设了$x^{(i)}$与$y^{(i)}$之间是独立的，然而对于语音信号或者其他具有时间连续依赖特性（比如温度）上，这个假设不能成立。但是在数据足够多时，假设独立对效果影响不大，同时如果事先打乱样例，并运行随机梯度上升算法，那么能够加快收敛速度。

回顾一下鸡尾酒宴会问题，s是人发出的信号，是连续值，不同时间点的s不同，每个人发出的信号之间独立（$s_i$和$s_j$之间独立）。s的累计概率分布函数是sigmoid函数，但是所有人发出声音信号都符合这个分布。A（W的逆阵）代表了s相对于x的位置变化，x是s和A变化后的结果。

5. 实例

s=2时的原始信号

观察到的x信号

使用ICA还原后的s信号

6. 行列式的梯度

对行列式求导，设矩阵A是n×n的，我们知道行列式与代数余子式有关，

$|A|=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}|A_{ij}| (for \;\; any \;\;j \in 1,...n)$

$A_{ij}$是去掉第i行第j列后的余子式，那么对$A_{kl}$求导得

$\frac{\partial }{\partial A_{kl}}|A|=\frac{\partial }{\partial A_{kl}}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{ij}|A_{ij}=(-1)^{k+l}|A_{kl}|=(adj(A))_{lk}$

adj(A)跟我们线性代数中学的$A^{*}$是一个意思，因此

$\triangledown_A|A|=(adj(A))^T=|A|A^{-T}$